Il calcolo di Isaac Newton iniziò effettivamente nel 1665 con la sua scoperta della serie binomiale generale (1 + x ) n = 1 + n x + n ( n - 1) / 2! ∙ x 2 + n ( n - 1) ( n - 2) / 3! ∙ x 3 + ⋯ per valori razionali arbitrari di n . Con questa formula è stato in grado di trovare serie infinite per molte funzioni algebriche (funzioni y di x che soddisfano un'equazione polinomiale p ( x , y) = 0). Ad esempio, (1 + x ) −1 = 1 - x + x 2 - x 3 + x 4 - x 5 + ⋯ e 1 / Radice quadrata di √ (1 - x 2) = (1 + (- x 2) ) −1/2 = 1 + 1/2 ∙ x 2 + 1 ∙ 3/2 ∙ 4 ∙ x 4+ 1 ∙ 3 ∙ 5/2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ x 6 + ⋯.
Quiz Astronomia e spazio Quiz Come si chiama la parte visibile del Sole? A sua volta, questo portò Newton a serie infinite per integrali di funzioni algebriche. Per esempio, si ottiene il logaritmo integrando i poteri x della serie per (1 + x ) -1 uno ad uno, log (1 + x ) = x - x 2/ 2 + x 3/ 3 - x 4 / 4 + x 5/ 5 - x 6/ 6 + ⋯, e la serie inversa del seno integrando la serie per 1 root / quadrato di √ (1 - x 2), sin-1 ( x ) = x + 1/ 2 ∙x 3/ 3 + 1 ∙ 3/ 2 ∙ 4 ∙ x 5/ 5 + 1 ∙ 3 ∙ 5 anime / 2 ∙ ∙ 4 6 ∙ x 7/ 7 + ⋯.
Infine, Newton ha coronato questa performance virtuosa calcolando la serie inversa per x come una serie in potenze di y = log ( x ) ey = sin − 1 ( x ), rispettivamente, trovando la serie esponenziale x = 1 + y / 1! + Y 2/ 2! + Y 3/ 3! + Y 4/ 4! + ⋯ e la serie sinusoidale x = y - y 3/ 3! + Y 5/ 5! - y 7 /7! + ⋯.
Si noti che l'unica differenziazione e integrazione di cui Newton aveva bisogno erano per potenze di x , e il vero lavoro coinvolgeva il calcolo algebrico con serie infinite. In effetti, Newton vedeva il calcolo come l'analogo algebrico dell'aritmetica con decimali infiniti, e scrisse nel suo Tractatus de Methodis Serierum et Fluxionum (1671; "Trattato sul metodo delle serie e dei flussi"):
Sono stupito che a nessuno (se si eccettua N. Mercator e la sua quadratura dell'iperbole) sia venuto in mente di adattare la dottrina recentemente stabilita per i numeri decimali alle variabili, soprattutto perché la strada è quindi aperta a conseguenze più eclatanti. Poiché, poiché questa dottrina nelle specie ha la stessa relazione con l'Algebra che la dottrina dei numeri decimali ha con l'Aritmetica comune, le sue operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed estrazione della radice possono essere facilmente apprese da quest'ultima.
Per Newton, tali calcoli erano l'epitome del calcolo. Si possono trovare nel suo De Methodis e nel manoscritto De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (1669; " Sull'analisi per equazioni con un numero infinito di termini"), che fu punto a scrivere dopo che la sua serie logaritmica fu riscoperta e pubblicata da Nicolaus Mercator. Newton non finì mai il De Methodis e, nonostante l'entusiasmo dei pochi a cui permise di leggere De Analysi , lo trattenne dalla pubblicazione fino al 1711. Questo, ovviamente, lo ferì solo nella sua disputa prioritaria con Gottfried Wilhelm Leibniz.
